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第1章 绪论1

1.1 数值计算及其特点1

1.1.1 数值问题与数值计算1

1.1.2 数值计算的特点2

1.2 误差分析4

1.2.1 误差的来源4

1.2.2 绝对误差与相对误差5

1.2.3 有效数字6

1.3 稳定性概念与病态问题8

1.3.1 数值稳定性8

1.3.2 病态问题与条件数11

本章小结12

习题112

第2章 非线性方程的数值求解14

2.1 二分法14

2.1.1 二分法原理14

2.1.2 二分法的计算步骤15

2.2 不动点迭代法16

2.2.1 不动点迭代16

2.2.2 不动点迭代法的收敛性18

2.3 牛顿法与割线法22

2.3.1 牛顿迭代公式及其几何意义22

2.3.2 牛顿迭代法的收敛性25

2.3.3 割线法25

2.3.4 牛顿法求解代数方程27

2.4 迭代加速与改善28

2.4.1 埃特金加速算法28

2.4.2 牛顿法求重根时的改善30

本章小结32

习题232

第3章 方程组的迭代解法35

3.1 向量和矩阵的范数35

3.1.1 向量的范数35

3.1.2 矩阵的范数36

3.1.3 向量和矩阵序列的收敛性38

3.2 线性方程组的迭代解法39

3.2.1 雅可比迭代法39

3.2.2 高斯-塞德尔迭代法41

3.2.3 超松弛迭代法43

3.3 迭代公式的矩阵表示45

3.4 迭代法的收敛性判定47

3.4.1 迭代法的收敛性47

3.4.2 收敛判定定理47

3.4.3 迭代法的误差估计52

3.5 非线性方程组的迭代解法53

3.5.1 非线性方程组的迭代格式53

3.5.2 非线性方程组的牛顿迭代法54

本章小结55

习题356

第4章 线性方程组的直接解法59

4.1 消去法59

4.1.1 高斯消去法59

4.1.2 高斯列主元素消去法61

4.2 三角（LU）分解法65

4.2.1 LU分解法65

4.2.2 列主元LU分解法71

4.2.3 追赶法74

4.2.4 平方根法77

4.3 直接法的误差分析78

4.3.1 病态方程组78

4.3.2 矩阵的条件数79

4.4 近似解的精度改善81

本章小结83

习题483

第5章 插值方法86

5.1 引言86

5.1.1 插值问题86

5.1.2 插值多项式的存在唯一性87

5.1.3 基函数88

5.2 拉格朗日插值法89

5.2.1 线性插值89

5.2.2 抛物线插值90

5.2.3 n次拉格朗日插值92

5.2.4 插值余项与误差估计93

5.3 牛顿插值法96

5.3.1 牛顿插值基函数96

5.3.2 均差及其性质97

5.3.3 n次牛顿插值公式99

5.3.4 牛顿插值法的算法步骤100

5.4 埃尔米特插值法101

5.4.1 含有导数条件的插值102

5.4.2 两点三次埃尔米特插值103

5.5 分段低次插值105

5.5.1 龙格现象105

5.5.2 分段线性插值106

5.5.3 分段三次埃尔米特插值107

5.6 三次样条插值107

5.6.1 三次样条插值函数及定解条件107

5.6.2 三次样条插值函数的构造109

本章小结113

习题5114

第6章 曲线拟合与函数逼近116

6.1 引言116

6.1.1 函数的内积与范数116

6.1.2 曲线拟合与函数逼近的概念118

6.2 曲线的最小二乘拟合119

6.2.1 最小二乘拟合119

6.2.2 最小二乘法方程的矩阵形式122

6.2.3 最小二乘法的应用125

6.3 基于正交多项式的曲线拟合127

6.3.1 点集上的正交多项式127

6.3.2 基于正交多项式的曲线拟合131

6.4 最佳均方逼近133

6.4.1 函数组的线性无关性133

6.4.2 最佳均方逼近多项式的存在唯一性134

6.5 基于正交多项式的最佳均方逼近137

6.5.1 连续区间上的正交多项式137

6.5.2 基于正交多项式的最佳均方逼近140

本章小结142

习题6142

第7章 数值积分与数值微分144

7.1 数值求积公式与代数精度144

7.1.1 数值积分的基本思想145

7.1.2 求积公式的代数精度146

7.1.3 插值型求积公式147

7.1.4 求积公式的收敛性与稳定性148

7.2 牛顿-柯特斯求积公式149

7.2.1 牛顿-柯特斯公式与柯特斯系数149

7.2.2 偶数阶牛顿-柯特斯公式的代数精度151

7.2.3 低阶牛顿-柯特斯公式的余项151

7.2.4 复化求积公式及其余项152

7.3 龙贝格求积公式155

7.3.1 变步长求积公式155

7.3.2 龙贝格算法157

7.4 高斯求积公式159

7.4.1 高斯求积公式与高斯点159

7.4.2 高斯求积公式的构造161

7.4.3 高斯-勒让德求积公式162

7.4.4 高斯-切比雪夫求积公式164

7.4.5 高斯-埃尔米特求积公式165

7.4.6 高斯求积公式的余项及稳定性166

7.5 数值微分167

7.5.1 基于Taylor展式的微分公式167

7.5.2 插值型微分公式169

本章小结170

习题7171

第8章 常微分方程的数值解法173

8.1 基本概念与基本求解途径173

8.2 欧拉方法与局部截断误差175

8.2.1 欧拉方法175

8.2.2 单步法的局部截断误差和方法的阶178

8.3 龙格-库塔方法180

8.3.1 龙格-库塔方法的基本思想180

8.3.2 常用龙格-库塔公式182

8.4 单步法的收敛性与稳定性185

8.4.1 单步法的收敛性185

8.4.2 单步法的数值稳定性188

8.5 线性多步法191

8.5.1 线性多步法公式的构造191

8.5.2 亚当姆斯公式194

8.5.3 线性多步法预测-校正公式197

8.6 一阶常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法198

8.6.1 一阶常微分方程组199

8.6.2 高阶常微分方程200

8.7 边值问题的差分法简介200

本章小结202

习题8202

第9章 矩阵特征值的数值计算205

9.1 特征值估计205

9.1.1 盖尔圆205

9.1.2 盖尔圆的分离207

9.2 幂法及原点平移法208

9.2.1 幂法208

9.2.2 反幂法211

9.2.3 原点平移法212

9.3 矩阵的QR分解216

9.3.1 初等反射变换216

9.3.2 平面旋转变换218

9.3.3 QR分解219

9.4 QR算法223

9.4.1 基本QR算法223

9.4.2 两步QR算法224

本章小结226

习题9227

参考文献229