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第一章 微分几何基础1

1.1 曲线论预备知识1

1.1.1 曲线的参数方程和矢量方程1

1.1.2 矢函数3

1.1.3 导矢在曲线、曲面造型中的应用4

1.1.4 弧长参数化7

1.2 曲线论基本公式8

1.2.1 活动标架8

1.2.2 曲线论的基本公式10

1.2.3 曲率的几何意义及其计算12

1.2.4 挠率的几何意义及其计算13

1.2.5 曲线论基本公式的应用14

1.3 曲面论预备知识16

1.3.1 曲面的参数方程和矢量方程16

1.3.2 曲面上参数曲线的切矢18

1.3.3 二元函数的全微分19

1.3.4 复合函数的偏导数20

1.3.5 曲面上曲线的切矢和曲面的法矢20

1.3.6 曲面的等距面22

1.4.2 曲面第一基本公式的应用23

1.4.1 曲面的第一基本公式23

1.4 曲面论基本公式23

1.4.3 曲面的局部坐标系25

1.4.4 曲面的第二基本公式25

1.4.5 法曲率，Meusnier定理26

1.4.6 主曲率、主方向、曲率线28

1.4.7 Gauss曲率和平均曲率29

1.4.8 Euler定理31

参考文献31

2.1 插值三次样条函数的物理背景32

第二章 插值样条函数32

2.2 插值三次样条函数33

2.2.1 基本概念33

2.2.2 用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数——m关系式34

2.2.3 插值三次样条函数的计算步骤38

2.2.4 实例38

2.2.5 用型值点处的二阶导数表示插值三次样条函数——M关系式40

2.2.6 插值双三次样条函数42

2.3 插值三次样条函数的局限性42

参考文献42

3.1.1 Ferguson曲线的表达式44

第三章 参数样条曲线、曲面44

3.1 Ferguson曲线44

3.1.2 合成Ferguson曲线46

3.2 参数样条曲线49

3.2.1 累加弦长三次参数样条曲线49

3.2.2 参数样条曲线的端点条件50

3.2.3 参数样条曲线的计算步骤51

3.2.4 切矢模长对曲线形态的影响及其选择51

3.3.1 曲面片52

3.3.2 Ferguson曲面片表达式的推导52

3.3 Ferguson曲面52

3.3.3 构造Ferguson曲面的步骤54

3.4 参数样条曲面55

参考文献55

第四章 Coons曲面57

4.1 具有给定边界的Coons曲面57

4.1.1 曲面表示法与记号57

4.1.2 插值四个角点的双线性曲面58

4.1.3 线性插值两条边界的曲面58

4.1.4 双线性Coons曲面58

4.2 具有给定边界和跨界切矢的Coons曲面片59

4.1.5 插值给定边界的Coons曲面的一般形式59

4.3 具有给定边界及其跨界切矢、跨界二阶导矢的Coons曲面61

4.4 双三次Coons曲面62

4.5 建立混合函数的一般方法64

参考文献65

第五章 Bézier曲线与曲面66

5.1 Bézier曲线的定义66

5.1.1 Bézier曲线的原始定义66

5.1.2 Bernstein-Bézier曲线67

5.2.1 Bernstein多项式的性质68

5.2 Bézier曲线的性质68

5.2.2 Bézier曲线的性质69

5.3 Bézier曲线的几何作图法及其应用71

5.3.1 Bézier曲线的几何作图法71

5.3.2 Bézier曲线的递归分割算法71

5.4 Bézier曲线的操作72

5.4.1 Bézier曲线的修改72

5.4.2 Bézier曲线的拼接72

5.5.1 升阶74

5.5 Bézier曲线的升阶与降阶74

5.5.2 降阶75

5.6 有理Bézier曲线75

5.6.1 有理Bézier曲线75

5.6.2 二次有理Bézier曲线75

5.6.3 有理Bézier曲线的递归分割算法77

5.6.4 有理Bézier同线的升阶和降阶78

5.6.5 有理Bézier曲线的应用78

5.7 Bézier曲面80

5.7.1 Bézier曲面的表达式80

5.7.2 Bézier曲面的拼接82

5.7.3 有理Bézier曲面85

参考文献87

第六章 B样条的定义和性质88

6.1 基本概念88

6.2 Clark关于B样条的定义89

6.2.1 基函数89

6.2.2 约束条件90

6.2.3 n阶连续性要求的B样条基函数92

6.3.2 用截尾幂函数的差商定义B样条93

6.3.1 截尾幂函数93

6.3 用截尾幂函数的差商定义B样条93

6.3.3 几点结论104

6.4 B样条的递推定义104

6.4.1 B样条的递推定义104

6.4.2 用递推定义构造B样条105

6.4.3 B样条基函数的递推算法106

6.5 B样条的性质106

6.5.1 讨论B样条性质的必要性106

6.5.2 B样条的局部支柱性质107

6.5.3 B样条的凸组合性质108

6.5.4 B样条基函数与Bernstein基函数的关系109

6.5.5 B样条在节点处的连续特性109

6.5.6 高次与低次B样条函数之间的关系110

6.5.7 B样条函数求导的递推性质111

参考文献112

第七章 均匀B样条曲线与曲面113

7.1 二次均匀B样条曲线113

7.1.1 二次均匀B样条曲线的表达式113

7.1.2 二次均匀B样条曲线的几何特性114

7.1.3 用重节点端点条件控制曲线的首、末端点116

7.2.1 三次均匀B样条曲线的表达式118

7.2 三次均匀B样条曲线118

7.2.2 三次均匀B样条曲线的几何特性119

7.2.3 三次均匀B样条曲线形状的控制121

7.3 三次均匀B样条曲线边界的控制122

7.4 三次B样条曲线的插值125

7.4.1 问题的提出125

7.4.2 基本方程组126

7.4.3 端点条件和构造插值三次准均匀B样条曲线的方程组127

7.6.1 B样条曲面概述129

7.5 高次B样条曲线129

7.6 B样条曲面129

7.6.2 B样条曲面的插值132

参考文献136

第八章 非均匀有理B样条(NURBS)曲线和曲面138

8.1 非均匀B样条曲线与曲面138

8.1.1 非均匀基B样条基函数的导出138

8.1.2 非均匀基B样条节点矢量的确定140

8.1.3 非均匀B样条曲线及其插值142

8.2.1 有理B样条曲线和曲面145

8.1.4 非均匀B样条曲面145

8.2 有理B样条曲线曲面145

8.2.2 二次有理B样条曲线和曲面146

8.2.3 三次有理B样条曲线150

8.3 非均匀有理B样条(NURBS)曲线和曲面152

8.3.1 NURBS曲线、曲面的定义与性质152

8.3.2 NURBS曲线曲面的基本算法154

8.3.3 NURBS曲线和曲面的应用160

参考文献168

第九章 Coons类混合B样条(CNSBS)曲面及其向NURBS曲面的转化170

9.1 插值于四条边界曲线及i(i=1，2，...，n)阶跨界导矢的CNSBS曲面171

9.2 CNSBS曲面向NURBS曲面的转化173

9.3 奇异性178

9.4 一个重要的定理及其证明179

9.4.1 引理1及其证明179

9.4.2 引理2及其证明181

9.4.3 引理3及其证明182

9.4.4 定理及其证明183

9.5 关于CNSBS曲面的若干结论184

参考文献185

第十章 NURBS方法的其他应用187

10.1 应用NURBS构造N边域曲面187

10.1.1 概述187

10.1.2 构造N边域曲面的Gregory方法188

10.1.3 应用NURBS构造N边域曲面190

10.1.4 算法的讨论及其实现191

10.2 根据给定的(N-1)条边界曲线及其跨界导矢构造N边缘曲面192

10.2.1 概述192

10.2.2 根据给定的三条边界曲线及其跨界导矢构造矩形域曲面192

10.2.3 曲面F(u,v)和G(u,v)向NURBS形式的转化及其奇异性的消除193

10.2.4 根据给定的(N-1)条边界曲线及其跨界导矢构造N边域曲面195

参考文献196

第十一章 三角曲面198

11.1 三角Bernstein-Bézier曲面198

11.1.1 三角B-B曲面的原理198

11.1.2 三角B-B曲面的构造205

11.2 三角B-B曲面片间参数连接拼接条件206

11.2.1 参数连续的定义206

11.2.2 C0，C1和C2连续的拼接条件207

11.2.3 C1连续三角B-B曲面的构造及相容性问题208

11.3.1 几何连续的定义209

11.3.2 n次三角B-B曲面片的G1拼接条件209

11.3 三角B-B曲面片间几何连续拼接条件209

11.3.3 三角B-B曲面片G1拼接的相容性问题211

参考文献213

第十二章 散乱数据插值曲面215

12.1 散乱数据三角剖分的基本概念215

12.1.1 与三角剖分有关的若干定义215

12.1.2 三角剖分优化准则216

12.2.1 平面散乱数据的三角剖分218

12.2 平面和开曲面散乱数据的三角剖分218

12.2.2 曲面上散乱数据的三角剖分——Choi算法221

12.3 封闭曲面上散乱数据的三角剖分227

12.4 三角网格边界条件计算228

12.4.1 顶点上法矢的计算229

12.4.2 顶点处沿边界方向切矢的计算230

12.5 散乱数据插值曲面230

12.5.1 构造散乱数据插值曲面230

12.5.2 G1连接四次插值曲面230

参考文献233

第十三章 变形造型技术236

13.1 非自由形变形236

13.1.1 数学通式237

13.1.2 几种简单的变形公式237

13.2 自由变形造型(FFD)239

13.2.1 基本原理240

13.2.2 连续性控制241

13.2.3 局部变形242

13.2.4 其他参数(如体积)的控制242

13.2.5 FFD方法的特点与适用范围243

13.3 直接控制的自由变形造型(DFFD)244

13.3.1 DFFD算法的提出244

13.3.2 最小二乘法与矩阵广义逆245

13.3.3 单点约束246

13.3.4 多点约束246

13.3.5 DFFD方法的特点与适用范围247

13.4 其他自由变形造型技术247

13.4.1 扩展自由变形造型技术(EFFD)247

13.4.2 有理自由变形造型技术(RFFD)248

参考文献249

14.1 基本原理250

14.1.1 椭圆型偏微分方程250

第十四章 用偏微分方程构造曲面250

14.1.2 椭圆型偏微分方程的求解251

14.1.3 用偏微分方程构造曲面的基本原理253

14.2 用偏微分方程构造过渡面254

14.2.1 笛卡儿坐标系下构造过渡面255

14.2.2 曲面坐标系下构造过渡面256

14.2.3 构造一阶连续的过渡面257

14.3 用PDE方法构造自由曲面262

14.2.4 小结262

14.3.1 简单船体设计263

14.3.2 用PDE方法构造N边域曲面265

14.4 用偏微分方程数值解构造曲面269

参考文献271

第十五章 能量优化法曲线曲面造型273

15.1 能量优化曲线曲面造型的基本原理274

15.1.1 能量优化法的基本原理274

15.1.2 能量模型的处理276

15.1.3 四条边界曲线约束的能量优化法造型278

15.2 能量优化法的数学处理方法——数学规划280

15.2.1 数学规划问题281

15.2.2 无约束二次规划的处理方法281

15.2.3 线性约束二次规划的处理方法281

15.3 几何约束条件的处理283

15.3.1 控制顶点约束283

15.3.2 型值点约束285

15.3.3 (偏)导矢约束286

15.3.4 法矢约束287

15.3.5 参数曲线约束288

15.3.6 参数曲面片约束291

15.4 能量优化法的几个关键问题293

15.4.1 材料特性参数的作用293

15.4.2 施加外载荷调整曲线曲面形状295

15.4.3 有理曲线曲面的处理298

15.5 能量优化法的应用300

参考文献304

第十六章 小波技术在曲线、曲面造型中的应用306

16.1 小波和多分辨分析简介307

16.1.1 离散信号多分辨率表示的基本概念307

16.1.2 函数多分辨率表示的关键问题308

16.2.1 B样条小波的定义309

16.2 B样条小波309

16.2.2 B样条小波的计算311

16.2.3 B样条小波的性质313

16.3 B样条曲线的多分辨率表示313

16.3.1 函数多分辨率表示的几何意义313

16.3.2 准均匀三次B样条曲线的小波分解与重构314

16.3.3 准均匀三次B样条曲线的多分辨率表示318

16.3.4 任意B样条曲线的多分辨率表示320

16.4.1 准均匀双三次B样条曲面的小波分解与重构321

16.3.5 B样条曲线多分辨率表示的意义321

16.4 B样条曲面的多分辨率表示321

16.4.2 任意B样条曲面的多分辨率表示323

16.4.3 曲面多分辨率表示的特点与应用324

16.5 基于小波的曲线曲面光顺误差控制327

16.5.1 曲线光顺误差的控制327

16.5.2 曲面光顺误差的控制328

参考文献330

17.1.1 曲面求交算法应满足的要求332

17.1 曲面求交的基本概念332

第十七章 曲面求交算法332

17.1.2 曲面求交的基本类型333

17.1.3 参数/参数曲面求交的基本方法334

17.2 曲面求交的分割法335

17.2.1 曲面分割求交的原理335

17.2.2 关于曲面分割求交的几点注记335

17.3 曲面求交中的迭代法338

17.3.1 曲面迭代求交的原理338

17.2.3 曲面分割求交的算法步骤338

17.3.2 迭代求交的具体方法339

17.3.3 关于迭代求交法的二点注记342

17.4 曲面求交的追踪法342

17.4.1 追踪法求交的提出342

17.4.2 追踪法求交的原理342

17.4.3 追踪法求交的实施343

17.5 曲面交线的表达345

参考文献346

18.1 曲线、曲面光顺的基本问题348

18.1.1 光顺准则348

第十八章 曲线、曲面的光顺处理348

18.1.2 光顺处理的方法350

18.2 曲线的光顺处理352

18.2.1 选点修改法352

18.2.2 整体优化法355

18.2.3 局部优化法361

18.2.4 带约束条件的光顺处理363

18.2.5 对型值点光顺的离散能量法364

18.3 曲面的光顺处理366

18.3.1 曲面光顺的能量法366

18.3.2 网格能量法370

18.4 曲面的光顺性检查372

18.4.1 基于曲率的方法372

18.4.2 基于光照模型的方法373

18.4.3 等高线法375

18.4.4 基于线性变换的方法(构造辅助曲面)375

18.4.5 各种方法的比较376

参考文献376

附录A 追赶法379

附录B 差分、差商及其性质381

附录C 英汉CAD/CAM词汇对照387