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第一章　函数极限连续函数1

一、数学史料1

二、教学基本要求3

三、释疑解惑3

1．为什么反三角函数用arc，而反双曲函数用ar表示？3

2．若函数y=f（u）与u=g（x）均无奇偶性，则复合函数f［g(x)］必无奇偶性吗？4

3．关于极坐标系5

4．如何正确理解数列极限的ε－N定义？6

5．如何正确理解复合函数的极限的定理？7

6．求极限时，何时要考虑左、右极限？8

7．求极限时，其加减运算能否用各自的等价无穷小代换？9

8．无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小吗？10

9．分段函数一定不是初等函数吗？11

10．综述求极限有哪些方法？12

11．证明极限不存在有哪些方法？24

12．函数仅在一点连续可能吗？25

13．闭区间上连续函数的性质，什么条件下在开区间上也适用？25

四、典型题型分析26

1．求函数的定义域26

2．求函数的表达式27

3．求反函数28

4．函数的复合29

5．已知函数的极限值，求函数中的常数和由其导出的其他极限30

6．求无穷项之和的极限33

7．求无穷项之积的极限35

8．求由递推关系给出的数列的极限35

9．求无穷小的阶40

10．函数的连续性与间断性41

11．根的存在性证明43

1-2　映射与函数45

1-3　极限45

1-1 集合 实数系45

五、习题解难45

1-4　连续函数49

六、考研题选解53

七、综合测试题和测试题答案或提示58

第二章　一元函数微分学及其应用62

一、数学史料62

二、教学基本要求63

三、释疑解惑64

1．何时用函数的导数定义求函数的导数？64

2．函数在一点可导，与函数在该点的邻域内的连续性、可导性有何关系？67

3．如何求分段函数的导数？68

4．函数单调递增区间与单调递减区间的分界点一定是函数的极值点吗？70

5．可导函数的极值点是否一定是其单调递增区间与单调递减区间的分界点？70

6．关于导函数的介值性71

7．用洛必达法则求未定式极限要注意些什么问题？72

8．如何证明根的存在性？75

9．证明函数不等式有哪些方法？79

10．证明中值等式、不等式有哪些方法？83

1．用导数定义求函数的导数91

四、典型题型分析91

2．求函数的微分92

3．复合函数的链式求导法则94

4．求高阶导数95

5．隐函数求导97

6．参数方程求导99

7．对数求导法100

8．相关变化率问题101

9．用洛必达法则求极限103

10．函数展开为泰勒公式104

11．用带皮亚诺型余项的泰勒公式计算函数极限105

12．用泰勒公式求高阶导数107

13．验证中值定理的正确性108

14．求中值ξ109

15．证明数值不等式111

16．判定函数的单调性112

17．判定函数的极值与最值113

18．函数的凸性与拐点的判定117

19．求曲线的渐近线119

20．弧微分与曲率120

2-1　导数与微分的概念121

五、习题解难121

2-2　微分法则122

2-3 高阶导数与高阶微分124

2-4 隐函数和由参数方程确定的函数的微分法125

2-5 导数和微分的应用126

2-6　微分中值定理129

2-7　洛必达法则133

2-8　函数单调性的判定136

2-9　函数极值和最值的判定137

2-10 函数的凸性及其判别法142

2-11 曲线的渐近线144

2-12　弧微分与曲率145

六、考研题选解146

七、综合测试题和测试题答案或提示157

第三章　一元函数积分学及其应用160

一、数学史料160

二、教学基本要求161

三、释疑解惑161

1．函数f（x）在区间Ⅰ内有原函数，则f（x）在Ⅰ内一定连续吗？161

2．函数可积和存在原函数有何关系？162

3．如何正确理解定积分的定义？162

4．设f（x）在［a,b］上可积，则F(x)=？f(t)dt一定可导吗？163

5．如何用定积分定义求定积分？165

6．不定积分和定积分的第二换元法有何不同？166

7．怎样利用函数的奇偶性与周期性计算定积分？167

8．怎样计算被积函数含有绝对值、最值等符号的定积分？168

9．积分中值定理有哪些应用？170

10．证明积分等式和不等式有哪些方法？173

11．用微元法为何有两个要求？182

四、典型题型分析183

1．估计定积分的值183

2．关于积分上限的函数184

3．用定积分定义求和式极限189

4．求分段函数的不定积分191

5．已知函数的原函数求函数192

6．用直接积分法求不定积分193

7．用凑微分法求积分193

8．用第二换元法求积分199

9．求分段函数的定积分204

10．利用分部积分法求积分205

11．抽象函数的不定积分211

12．用定积分公式计算定积分213

13．求有理函数的不定积分214

14．求简单无理函数的不定积分216

15．求三角函数有理式的不定积分218

16．函数的表达式中含有定积分，求函数220

17．求含极限变量的定积分的极限221

18．求反常积分223

19．反常积分敛散性的判定226

20．定积分的应用227

五、习题解难232

4-1 定积分的概念与性质232

4-2　微积分学基本定理234

4-3　不定积分237

4-4　基本积分法238

4-5　三角函数的有理式的积分和综合题241

4-6　定积分的应用248

4-7　反常积分254

六、考研题选解256

七、综合测试题和测试题答案或提示267

第四章 向量代数与空间解析几何271

一、数学史料271

1．向量运算有何特点？272

三、释疑解惑272

二、教学基本要求272

2．向量的内积有哪些应用？273

3．向量积有哪些应用？274

4．试述点在直线或平面上的投影点的求法及其应用276

5．如何正确使用平面束方程？277

6．如何求旋转曲面的方程？279

7．空间曲线关于坐标面的投影柱面和投影曲线有何应用？281

8．何谓空间直角坐标系的坐标变换？282

四、典型题型分析284

1．求空间向量284

2．向量的运算286

3．两向量共线及三向量共面288

4．利用向量求解几何问题290

5．求平面方程291

6．求空间直线方程293

7．求直线在平面上的投影直线方程295

8．平面、直线之间的关系296

9．关于距离的讨论298

10．空间曲面及二次曲面304

11．求空间曲线的参数方程及其投影曲线方程306

4-1 向量及其线性运算308

五、习题解难308

4-2　向量的坐标和向量运算的坐标表示309

4-3 空间的平面和直线310

4-4 空间曲面311

4-5 空间曲线313

4-6　二次曲面314

六、考研题选解314

七、综合测试题和测试题答案或提示317

上册期中测试题、期末测试题320

上册期中测试题、期末测试题答案或提示328